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Coeficiente de Absorción

Establece una medida de la atenuación en la intensidad de la radiación por unidad de longitud a una determinada frecuencia, cuando esta atraviesa un medio.

Figura 2.2: Rayo de luz atravesando un medio
\includegraphics[scale=0.7]{absorcion1.eps}


La variación de la intensidad específica a lo largo de un rayo puede expresarse en términos de los coeficientes de absorción y emisión mediante la ecuación de transporte radiativo establecida en (2.21).


Si consideramos únicamente absorción por parte del medio, la ecuación (2.21) se simplifica a la siguiente expresión:

$\displaystyle \frac{dI_{\nu}}{ds} = -\alpha_{\nu}I_{\nu}$ (2.25)

Resolviendo la ecuación diferencial obtenemos:

$\displaystyle I_{\nu}(s) = I_{\nu}(s_{0})e^{-\int_{s_{0}}^{s}\alpha_{\nu}(s')ds'}$ (2.26)

La profundidad óptica medida a lo largo del camino del rayo entre $ S_{0}$ y $ S$ se expresa mediante la ecuación:

$\displaystyle \int_{s_{0}}^{s}\alpha_{\nu}(s')ds' = \tau_{\nu}(s)$ (2.27)

Figura 2.3: Profundidad Óptica
\includegraphics[scale=0.7]{optica1.eps}

La intensidad medida en el marco de laboratorio es la suma de la intensidad de fondo $ I_{\nu}(0)$ atenuada en un factor $ e^{-\tau_{\nu}(s)}$ y la superposición de la emisión de todas las capas de la región, cada una con una intensidad $ S_{\nu}(\tau_{\nu}')$ y atenuada en un factor $ e^{(\tau_{\nu} - \tau_{\nu}')}$[5].


La solución de la ecuación (2.25) es entonces función de la profundidad óptica y podemos escribirla de la siguiente forma:

$\displaystyle I_{\nu}(s) = I_{\nu}(s_{0})e^{-\tau_{\nu}(s)}$ (2.28)

donde el término exponencial representa la tasa de fotones que pasan efectivamente a través del material. En la ecuación (2.28) se aprecia claramente la extinción de la radiación al profundizar en el material.

Figura 2.4: Transformación del ángulo de penetración al medio absorbente
\includegraphics[scale=0.7]{invarianza3.eps}


Si el fotón penetra el medio formando un ángulo $ \theta $ con el eje $ x$ (eje de referencia), el camino recorrido por este a través del material esta expresado por $ \frac{l}{\sin{\theta}}$. Entonces, la profundidad óptica $ \tau$ del medio que se mide desde el marco de laboratorio $ K$ es:

$\displaystyle \tau = \frac{l}{\sin{\theta}} \alpha_{\nu}$ (2.29)

Al multiplicar y dividir entre $ \nu$ se obtiene:

$\displaystyle \tau = \frac{l}{\nu \sin{\theta}} \nu \alpha_{\nu}$ (2.30)

Ahora bien, el fotón que atraviesa el material puede caracterizarse en el marco de laboratorio por su cuadrivector de momento que tiene la siguiente forma:

$\displaystyle K^{\mu} = \left(\frac{h\nu}{c},\frac{h\nu}{c} \cos{\theta},\frac{h\nu}{c} \sin{\theta},0 \right)$ (2.31)

en donde consideramos para propositos de simplificación que la trayectoria del fotón esta en el plano. Entonces, la transformación de Lorentz para $ K^{\mu}$ nos permitirá conocer las componentes del cuadrivector de momento en el marco de la partícula teniendo en cuenta que $ K^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}\,_{\mu} K^{\mu}$:

\begin{subequations}\begin{align}K^{0'} & = \gamma \frac{h\nu}{c} + \beta \gamma...
...'} & = \frac{h\nu}{c} \sin{\theta} \\ K^{3'} & = 0 \end{align}\end{subequations}

Comparando $ K'^{\mu}$ con $ K^{\mu}$ vemos que $ K'^{2} = K^{2}$, con lo cual el término $ \nu \sin{\theta}$ es invariante de Lorentz. Como $ l$ y $ \tau$ con invariantes de Lorentz, podemos entonces concluir que $ \nu \alpha_{\nu}$ es invariante de Lorentz.


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Asdruval Zacipa Corredor 2002-07-21