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Cuadripotencial de campo

La acción correspondiente de una partícula que se mueve en un campo electromagnético se compone de dos partes a saber, la acción para la partícula libre y la interacción de la partícula con el campo. Las propiedades de la partícula en su interacción con el campo estan determinadas por la carga eléctrica de la partícula $ q$. Las propiedades del campo están determinadas por un cuadrivector $ A_\mu$ que se denomina Cuadripotencial vector del campo [10]. Este cuadrivector puede escribirse como $ A_\mu = (\phi,\mathbf{A})$ en donde la componente temporal $ \phi$ se denomina potencial escalar del campo y las componentes espaciales $ \mathbf{A}$ constituyen el potencial vector del campo.


La función de acción correspondiente a una carga en un campo electromagnético tiene la forma:

$\displaystyle S = \int_a^b \left(-mcds - \frac{q}{c} A_\nu dx^{\nu} \right)$ (3.64)

Si se consideran dos trayectorias posibles para la partícula, una de ellas la de mínima acción, podemos definir la variación de la acción $ \delta S$ como la diferencia entre la acción $ S$ cuando la trayectoria de la partícula es $ x$ y la acción $ \bar{S}$ cuando la trayectoria de la partícula $ \bar{x}$ es la trayectoria de mínima acción.

$\displaystyle \delta S = \delta \int_a^b \left(-mcds - \frac{q}{c} A_\nu dx^{\nu} \right) = 0$ (3.65)

En relatividad especial, el intervalo de evento se define como $ ds^2 = dx^{\nu} dx_{\nu}$; al considerar la diferencia $ \delta$, podemos escribir (3.65) como:

$\displaystyle \delta S = \int_a^b \left(-mc\frac{dx_{\nu}d \delta x^{\nu}}{ds} ...
...c{q}{c} A_\nu d\delta x^{\nu} - \frac{q}{c} \delta A_{\nu} dx^{\nu} \right) = 0$ (3.66)

la cual corresponde a la variación de la acción respecto a la trayectoria $ x^{\nu}$.


Al integrar por partes los dos primeros términos de (3.66) podemos establecer las siguientes consideraciones:

Al considerar las anteriores integraciones en (3.66) obtenemos:

$\displaystyle \delta S = \int_a^b \left( mc \delta x^{\nu} dU_\nu + \frac{q}{c}...
...right) - \left( mcU_\nu + \frac{q}{c} A_\nu \right) \delta x^\nu \vert _a^b = 0$ (3.67)

Realizando las transformaciones $ \delta A_\nu = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} \delta x^\mu$ y $ dA_\nu = \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} dx^\mu$ escribimos (3.67) como:

$\displaystyle \delta S = \int_a^b \left( mc \delta x^{\nu} dU_\nu + \frac{q}{c}...
...right) - \left( mcU_\nu + \frac{q}{c} A_\nu \right) \delta x^\nu \vert _a^b = 0$ (3.68)

Para simplificar los cálculos, hacemos en la integral $ dU_\nu = \frac{dU_\nu}{ds} ds$ y $ dx^\nu = U^\nu ds$, así como intercambiamos los índices $ \nu$ y $ \mu$ ya que están actuando como índices mudos, con lo cual se tiene:

$\displaystyle \delta S = \int_a^b \left( mc \frac{dU_\nu}{ds} + \frac{q}{c} U^\...
...\nu ds - \left( mcU_\nu + \frac{q}{c} A_\nu \right) \delta x^\nu \vert _a^b = 0$ (3.69)

Aqui introducimos el tensor $ F_{\nu\mu}$ que definiremos como:

$\displaystyle F_{\nu\mu} = \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} - \frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}$ (3.70)

con lo cual podemos escribir (3.69) como:

$\displaystyle \delta S = \int_a^b \left( mc \frac{dU_\nu}{ds} - \frac{q}{c} U^\...
...\nu ds - \left( mcU_\nu + \frac{q}{c} A_\nu \right) \delta x^\nu \vert _a^b = 0$ (3.71)

La variación de $ x^\nu$ (es decir, $ \delta x^\nu$) entre los límites fijos $ a$ y $ b$ que establecen los puntos extremos de la trayectoria de la partícula tiende a ser cero, ya que las diferentes trayectorias deben cumplir con el principio de mínima acción. Teniendo en cuenta lo anterior, tenemos que las ecuaciones del movimiento de la partícula en un campo electromagnético son:

$\displaystyle mc\frac{dU_\nu}{ds} = \frac{q}{c} U^\mu F_{\nu\mu}$ (3.72)

El tensor $ F_{\nu\mu}$ se conoce como el tensor de campo electromagnético.


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Asdruval Zacipa Corredor 2002-07-21