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Operadores lineales

Si consideramos que $ T$ es un operador lineal en un espacio de Hilbert complejo $ \mathfrak{H}$ podemos decir que un cierto ket $ \left\vert\left . F \right > \right .$ es función de un ket $ \left\vert\left . A \right > \right .$ mediante $ T$ si:

$\displaystyle \left\vert\left . F \right > \right .$ $\displaystyle = T \left\vert\left . A \right > \right . .$    

Como $ T$ es lineal, $ \forall \alpha \in \mathbb{C}$ tenemos que $ T \left(\alpha \left\vert\left . A \right > \right .\right) = \alpha T \left\vert\left . A \right > \right .$. Si $ S$, un operador en $ \mathfrak{H}$ es lineal,

$\displaystyle (T + S) \left\vert\left . A \right > \right .$ $\displaystyle = T\left\vert\left . A \right > \right . + S\left\vert\left . A \right > \right .$    
$\displaystyle (TS)\left\vert\left . A \right > \right .$ $\displaystyle = T\left(S \left\vert\left . A \right > \right . \right) = TS \left\vert\left . A \right > \right ..$    

No necesariamente los operadores $ T$ y $ S$ conmutan, por lo tanto:

$\displaystyle TS\left\vert\left . A \right > \right . \neq ST\left\vert\left . A \right > \right . .$    

Un operador lineal puede también actuar sobre un bra por la izquierda, es decir, $ \left <\left . B \right \vert \right . T$ con $ T$ lineal en $ \mathfrak{H}$. Ahora bien, un operador lineal puede actuar por derecha sobre un ket y por izquierda sobre un bra, es decir:

$\displaystyle \left <\left . B \right \vert \right .T\left\vert\left . A \right > \right .$ $\displaystyle = \left <\left . B \right \vert \right . \{ T\left\vert\left . A \right > \right . \}$    
  $\displaystyle = \left < \left . B \right \vert P \right > \qquad \footnotemark [1]$     5.1
  $\displaystyle = \alpha$   Con $ \alpha \in \mathbb{R}$.    

Supongamos que tenemos $ \left\vert\left . A \right > \right .$, $ \left\vert\left . C \right > \right .$ y $ \left <\left . B \right \vert \right .$, de tal forma que $ \left < \left . B \right \vert C \right > = \beta$ con $ \beta \in \mathbb{C}$. Determinemos ahora el siguiente término:

$\displaystyle \left\vert\left . A \right > \right .\left < \left . B \right \vert C \right >$ $\displaystyle = \left\vert\left . A \right > \right .\beta$    
  $\displaystyle = \beta \left\vert\left . A \right > \right ..$    

El resultado anterior es de nuevo un ket, con lo cual podemos concluir que $ \left\vert\left . A \right > \right .\left <\left . B \right \vert \right .$ se comporta como un operador lineal, el cual también puede actuar a izquierda sobre un bra de la siguiente forma:

$\displaystyle \left < \left . D \right \vert A \right >\left <\left . B \right \vert \right .$ $\displaystyle = \delta\left <\left . B \right \vert \right . .$    

Si consideramos el operador $ \left\vert\left . A \right > \right .\left <\left . A \right \vert \right .$, este operador corresponde al operador de proyección.

Los operadores lineales en mecánica cuántica corresponden a los observables del sistema. Un observable es representado matemáticamente por un operador lineal y hay un operador lineal por cada observable en el sistema.

La diferencia fundamental entre las variables dinámicas de un sistema en mecánica clásica y en mecánica cuántica radica en que dos operadores lineales asociados a observables clásicos siempre conmutan, mientras que en mecánica cuántica por lo general no conmutan. En el caso cuántico se define el conmutador entre dos operadores lineales como:

$\displaystyle \left[T,S\right]$ $\displaystyle = TS - ST .$ (5.5)

Si el conmutador es diferente de cero, la medición de observables cuánticos afecta el sistema, es decir, se producen diferentes perturbaciones en el sistema cuando operan $ S$ y $ T$ que cuando operan $ T$ y $ S$. Lo anterior indica que no necesariamente es posible realizar la medición sobre dos observables del sistema en forma simultánea y además de esto, la medición de uno de estos observables afecta el valor del otro observable. Dos observables se denominan complementarios cuando no conmutan entre si.

Como $ T$ es lineal, consideremos que existe y está bien definido el operador adjunto $ {T}^{*}$. De acuerdo al teorema 8, si $ T^{**} = T$, y además, si $ {T}^{*} = T$, decimos que $ T$ es autoadjunto. Denotando el adjunto de $ T$ como $ \overline{T}$ podemos escribir:

$\displaystyle \left <\left . B \right \vert \right .\overline{T}\left\vert\left . C \right > \right .$ $\displaystyle = \overline{\left <\left . C \right \vert \right .T\left\vert\left . B \right > \right .}$    

y además, $ \overline{\left\vert\left . A \right > \right .\left <\left . B \right \vert \...
...} = \left\vert\left . B \right > \right .\left <\left . A \right \vert \right .$.


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A. Zchwarzshipowsky 2004-09-19