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El principio de incertidumbre

Si $ A$ y $ B$ son operadores lineales autoadjuntos, denotaremos como $ \Delta A$ y $ \Delta B$ la incertidumbre en la medición de los observables $ A$ y $ B$ para un determinado estado $ \psi(x)$.

De acuerdo a la ecuación [*], el valor esperado para un operador lineal está definido por:

$\displaystyle \mu_{\psi}(A) = \frac{\left \langle \psi, A\psi \right \rangle }{...
...eft . \psi \right > \right .}{\left < \left . \psi \right \vert \psi \right >}.$    

Si el estado $ \psi$ está normalizado, $ \left < \left . \psi \right \vert \psi \right > = 1$ de tal forma que:

$\displaystyle \mu_{\psi}(A)$ $\displaystyle = \left \langle \psi, A\psi \right \rangle = \left <\left . \psi \right \vert \right .A\left\vert\left . \psi \right > \right ..$    

La varianza de $ A$ se define como:

$\displaystyle Var_{\psi}(A) = (\Delta A)^2$ $\displaystyle = \mu_{\psi}((A - \mu_{\psi}(A))^2)$    
  $\displaystyle = \left \langle \psi, (A - \mu_{\psi}(A))^2 \psi \right \rangle$    
  $\displaystyle = \left \langle \psi, (A - \mu_{\psi}(A))(A - \mu_{\psi}(A)) \psi \right \rangle$    
  $\displaystyle = \left \langle (A - \mu_{\psi}(A))\psi, (A - \mu_{\psi}(A)) \psi \right \rangle \qquad \footnotemark [7]$     5.7
  $\displaystyle = \left \Vert (A - \mu_{\psi}(A))\psi \right \Vert ^2 .$    

Otra forma de escribir $ Var_{\psi}(A)$ es:

$\displaystyle Var_{\psi}(A) = (\Delta A)^2$ $\displaystyle = \left \langle \psi, (A - \mu_{\psi}(A))^2 \psi \right \rangle$    
  $\displaystyle = \left \langle \psi, (A^2 - 2A \mu_{\psi}(A) + (\mu_{\psi}(A))^2)\psi \right \rangle$    
  $\displaystyle = \left \langle \psi, A^2 \psi \right \rangle - 2\mu_{\psi}(A)\le...
...\psi \right \rangle + (\mu_{\psi}(A))^2)\left \langle \psi, \psi \right \rangle$    
  $\displaystyle = \mu_{\psi}(A^2) - 2\mu_{\psi}(A)\mu_{\psi}(A) + (\mu_{\psi}(A))^2)$    
  $\displaystyle = \mu_{\psi}(A^2) - (\mu_{\psi}(A))^2).$    

Teniendo en cuenta que $ sd_{\psi}(A) = \sqrt{Var_{\psi}(A)}$ y haciendo $ \psi_1 = (A - \mu_{\psi}(A))\psi$, tenemos que:

$\displaystyle sd_{\psi}(A) = \Delta A$ $\displaystyle = \left \Vert \psi_1 \right \Vert$    

y de la misma forma, haciendo $ \psi_2 = (B - \mu_{\psi}(B))\psi$:

$\displaystyle sd_{\psi}(B) = \Delta B$ $\displaystyle = \left \Vert \psi_2 \right \Vert .$    

Por la desigualdad de Schwarz, tenemos que $ \left \vert \left \langle \psi_1, \psi_2 \right \rangle \right \vert \leq \left \Vert \psi_1 \right \Vert \left \Vert \psi_2 \right \Vert $. Además, considerando que $ \left \Vert \psi_1 \right \Vert \left \Vert \psi_2 \right \Vert \geq \left \vert \Im \left \langle \psi_1, \psi_2 \right \rangle \right \vert $ y que para $ z \in \mathbb{C}$, $ \Im(z) = \frac{1}{2i}(z - \overline{z})$, tenemos que:

$\displaystyle \left \Vert \psi_1 \right \Vert \left \Vert \psi_2 \right \Vert \...
...2 \right \rangle - \left \langle \psi_2, \psi_1 \right \rangle ) \right \vert .$    

Lo anterior nos permite establecer la relación entre las incertidumbres $ \Delta A \Delta B$ como:

$\displaystyle \Delta A \Delta B$ $\displaystyle \geq \left \vert \frac{1}{2i} \left \langle (A - \mu_{\psi}(A))\p...
...le (B - \mu_{\psi}(B))\psi, (A - \mu_{\psi}(A))\psi \right \rangle \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \left \langle \psi, (A - \mu_{\psi...
...le \psi, (B - \mu_{\psi}(B))(A - \mu_{\psi}(A))\psi \right \rangle \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \left \langle \psi, \left \{(A - \...
...B - \mu_{\psi}(B))(A - \mu_{\psi}(A)) \right \}\psi \right \rangle \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \left \langle \psi, (AB - BA)\psi \right \rangle \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \left \langle \psi, \left[A,B\right]\psi \right \rangle \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \mu_{\psi}(\left[A,B\right]) \right \vert$    

es decir,

$\displaystyle sd_{\psi}(A)sd_{\psi}(B) \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \mu_{\psi}(\left[A,B\right]) \right \vert .$ (5.29)

Si aplicamos la ecuación [*] al caso de los operadores $ P$ y $ Q$ tenemos:

$\displaystyle sd_{\psi}(Q)sd_{\psi}(P)$ $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \mu_{\psi}(\left[Q,P\right]) \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{1}{2}\left \vert -i \mu_{\psi}(i\hbar) \right \vert$    
  $\displaystyle \geq \frac{\hbar}{2}$    

y en conclusión,

$\displaystyle sd_{\psi}(Q)sd_{\psi}(P)$ $\displaystyle \geq \frac{\hbar}{2}.$ (5.30)

La ecuación [*] corresponde al principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual indica que es imposible diseñar un experimento que permita medir los valores exactos de la posición y el momento de una partícula. Sin embargo, como el valor de $ \hbar$ es pequeño y $ \frac{\hbar}{2}$ es aún menor, en un sistema macroscópico sujeto a las leyes de la mecánica clásica, el principio de incertidumbre no es importante. A nivel atómico y menores a éste, se trabaja con cantidades del orden de $ \hbar$ y por tal razón los efectos cuánticos se hacen evidentes. Esto hace que la mecánica clásica pueda considerarse como el límite $ \hbar \to 0$ de la mecánica cuántica respecto al tamaño del sistema.


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A. Zchwarzshipowsky 2004-09-19