Potencias de $i$

Recordemos que los números estan compuestos por varios conjuntos así:

• Números Naturales $\mathbb{N}$: Es el conjunto que normalmente utilizamos para contar 1,2,3,4,...
• Números Enteros $\mathbb{Z}$: Comprende los números naturales $\mathbb{N}$, el cero y el negativo de cada número natural. ...,-2,-1,0,1,2,...
• Números Racionales $\mathbb{Q}$: Comprende los números enteros $\mathbb{Z}$ y las fracciones de la forma $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ $\in$ $\mathbb{Z}$
• Números Irracionales $\mathbb{I}$: Comprende los números que no pueden escribirse como el cociente entre dos números enteros. Por ejemplo, $\sqrt{3}$
• Números Reales $\mathbb{R}$: Comprende la unión de los números racionales y los irracionales
• Números Trascendentes: Comprende los números que no son raices de una ecuación algebraica con coeficientes racionales. Por ejemplo $e$ y $\pi$
• Números Complejos $\mathbb{C}$: Comprende los números que tiene una parte real y una parte imaginaria. La parte imaginaria es un multiplo de $\sqrt{-1}$ el cual se representa como $i$. Son de la forma $a \pm bi$ $\forall a,b \in \mathbb{R}$

Nuestro problema radica en encontrar una fórmula que permita calcular cualquier potencia $n$ de $i$ $\forall n \in \mathbb{N}$.

Veamos. Calculando las primeras potencias de $i$ tenemos:

• $i^0 = 1$, ya que cualquier número elevado a la potencia 0 es igual a 1.
• $i^1 = i$, ya que cualquier número elevado a la potencia 1 nos da el mismo número.
• $i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$ , ya que el cuadrado se cancela con la raíz.
• $i^3 = i * i^2 = i * (-1) = -i$
• $i^4 = i^2 * i^2 = (-1) * (-1) = 1$
• $i^5 = i^4 * i = 1 * i = i$
• $i^6 = i^5 * i = i * i = i^2 = -1$
• $i^7 = i^6 * i = (-1) * i = -i$
• $\vdots$

Que se aprecia?

Nos podemos dar cuenta que se comienzan a repetir los valores según las siguientes sucesiones:

• $1$ : $0, 4, 8, 12, \dots$
• $i$ : $1, 5, 8, 13, \dots$
• $-1$ : $2, 6, 10, 14, \dots$
• $-i$ : $3, 7, 11, 15, \dots$

Observemos que se repiten cada $4$. Podemos entonces inferir las siguientes formulaciones para cada una de las potencias:

$$1 \Rightarrow \frac{n}{4} \qquad i \Rightarrow \frac{n-1}{4} \qquad -1 \Rightarrow \frac{n-2}{4} \qquad -i \Rightarrow \frac{n-3}{4}$$

Para hallar la $n-esima$ potencia de $i$, se debe reemplazar $n$ en cada una de las ecuaciones anteriormente descritas; aquella ecuación cuyo resultado sea un número entero, indica cual es el valor de la potencia de $i$.

Como muy probablemente ésta inferencia es un tanto mágica, vamos a tratar de comprobar con mayor rigurosidad estos resultados. Como ya comprobamos que las formulas se cumplen para los primeros números, aplicando el principio de inducción matemática, asumimos que se cumplen para algún $n-1$ y vamos a demostrar que se cumplen para $n$. Si esto es así, el principio de inducción nos permite extender la demostración $\forall n \in \mathbb{N}$.

Reescribiendo las ecuaciones anteriores de la siguiente forma:

$$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}\right) \qquad i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}-\frac{1}{2}\right) \qquad$$

$$-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}-\frac{3}{2}\right)$$

Consideramos los siguientes casos a saber:

1. Si $n$ es par, es decir es de la forma $n = 2m$ para $m \in \mathbb{N}$. Reemplazando en las anteriores ecuaciones se tiene:
   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m}{2}\right) \qquad i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m}{2}-\frac{1}{2}\right)$$
   $$-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m}{2}-1\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m}{2}-\frac{3}{2}\right)$$

   Simplificando:

   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m\right) \qquad i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m-\frac{1}{2}\right) \qquad$$
   $$-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m-1\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m-\frac{3}{2}\right)$$
   • De la primera ecuación no podemos realizar afirmación alguna
   • De la segunda ecuación podemos afirmar que $\forall m \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)
   • De la tercera ecuación no podemos realizar afirmación alguna
   • De la cuarta ecuación podemos afirmar que $\forall m \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)

2. Si $m$ es par, es de la forma $m = 2p$. Reemplazando en las ecuaciones de las cuales no podemos realizar afirmación alguna
   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p\right) \qquad -1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p-1\right) \qquad$$

   Simplificando:

   $$1 \Rightarrow p \qquad -1 \Rightarrow p-\frac{1}{2} \qquad$$
   • De la primera ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\in \mathbb{Z}$ (Si es entero)
   • De la tercera ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)

   Entonces, $n = 2m$ y $m = 2p$ con lo cual $n = 4p$.

   $$i^n = 1\qquad \forall n \mid n = 4p \qquad \forall p \in \mathbb{N}$$

3. Si $m$ es impar es de la forma $m = 2p + 1 \forall p \in \mathbb{N}$. Reemplazando en las ecuaciones de las cuales no podemos realizar afirmación alguna
   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p+1\right) \qquad -1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left((2p+1)-1\right) \qquad$$

   Simplificando:

   $$1 \Rightarrow p+\frac{1}{2} \qquad -1 \Rightarrow p \qquad$$
   • De la primera ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)
   • De la tercera ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\in \mathbb{Z}$ (Si es entero)

   Entonces, $n = 2m$ y $m = 2p+1$ con lo cual $n = 4p+2$.

   $$i^n = -1 \qquad \forall n \mid n = 4p+2 \qquad \forall p \in \mathbb{N}$$

4. Si $n$ es impar, es decir es de la forma $n = 2m+1$ para $m \in \mathbb{N}$. Reemplazando en las ecuaciones iniciales se tiene:
   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m+1}{2}\right) \qquad i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m+1}{2}-\frac{1}{2}\right) \qquad$$
   $$-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m+1}{2}-1\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{2m+1}{2}-\frac{3}{2}\right)$$

   Simplificando:

   $$1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m+\frac{1}{2}\right) \qquad i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m\right) \qquad$$
   $$-1 \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m-\frac{1}{2}\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(m-1\right)$$
   • De la primera ecuación podemos afirmar que $\forall m \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)
   • De la segunda ecuación no podemos realizar afirmación alguna
   • De la tercera ecuación podemos afirmar que $\forall m \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)
   • De la cuarta ecuación no podemos realizar afirmación alguna

5. Si $m$ es par, es de la forma $m = 2p$. Reemplazando en las ecuaciones de las cuales no podemos realizar afirmación alguna
   $$i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p-1\right) \qquad$$

   Simplificando:

   $$i \Rightarrow p \qquad -i \Rightarrow p-\frac{1}{2} \qquad$$
   • De la segunda ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\in \mathbb{Z}$ (Si es entero)
   • De la cuarta ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)

   Entonces, $n = 2m+1$ y $m = 2p$ con lo cual $n = 4p+1$.

   $$i^n = i \qquad \forall n \mid n = 4p+1 \qquad \forall p \in \mathbb{N}$$

6. Si $m$ es impar es de la forma $m = 2p + 1 \forall p \in \mathbb{N}$. Reemplazando en las ecuaciones de las cuales no podemos realizar afirmación alguna
   $$i \Rightarrow \frac{1}{2}\left(2p+1\right) \qquad -i \Rightarrow \frac{1}{2}\left((2p+1)-1\right) \qquad$$

   Simplificando:

   $$i \Rightarrow p+\frac{1}{2} \qquad -i \Rightarrow p \qquad$$
   • De la segunda ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$ el resultado $\notin \mathbb{Z}$ (No es entero)
   • De la cuarta ecuación podemos afirmar que $\forall p \in \mathbb{N}$, el resultado $\in \mathbb{Z}$ (Si es entero)

   Entonces, $n = 2m+1$ y $m = 2p+1$ con lo cual $n = 4p+3$.

   $$i^n = -i \qquad \forall n \mid n = 4p+3 \qquad \forall p \in \mathbb{N}$$

Observemos que de esta manera se comprueban las sucesiones de valores que generan cada una de las potencias de $i$, con lo cual damos por terminada la demostración.