Números Primos

Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles unicamente por si mismos y por la unidad. Por definición se considera que el número $1$ no es primo. El matemático griego Euclides demostró que los números primos son infinitos, si embargo, muchos problemas respecto a los primos estan aun sin solución, tal como la determinación de formulas que generen primos, el problema de los primos gemelos, los primos de Mersenne y Fermat, la conjetura de Goldbach, etc.

En esta sección comprobaremos dos teoremas relativos a los números primos, el primero de los cuales tiene que ver con los Primos de Mersenne.

Sea $n \in \mathbb{N}$. Vamos a comprobar que:

• Si $2^n - 1$ es primo, entonces $n$ es primo.

  Si $n$ no es primo, entonces es de la forma $n = kl$ donde $k > 1$ y $l < n$. Entonces, $2^n - 1 = 2^{kl} - 1 = (2^k)^l - 1$.

  De acuerdo a la factorización $x^n - y^n = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^{2} + \dots + x^{n - k} y^{k - 1} + \dots + x y^{n - 2} + y^{n - 1})$, si hacemos $x = 2^k$ y $y = 1$ tenemos:

  $$(2^k)^l - 1 = (2^k - 1)((2^k)^{l - 1} + (2^k)^{l - 2} + (2^k)^{l - 3} + \dots + 2^k + 1)$$

  
  

  A partir de lo cual podemos escribir:

  $$\frac{(2^k)^l - 1}{2^k - 1} = (2^k)^{l - 1} + (2^k)^{l - 2} + (2^k)^{l - 3} + \dots + 2^k + 1$$

  
  

  Como $k > 1$, tenemos entonces que $2^{kl} - 1$ es divisible por $2^k - 1$ con lo cual $2^{kl} - 1$ no es primo, lo cual contradice la hipotesis inicial de que $2^n - 1$ es primo. Por lo tanto se concluye que $n$ es primo.

• Si $2^n + 1$ es primo, entonces $n = 2^k$ para algún $k \in \mathbb{N}$.

  Supongamos que $n = lm$ con $l$ impar, es decir, $n$ tiene por lo menos un factor primo impar. Podemos escribir $2^n + 1 = 2^{lm} + 1 = (2^m)^l + 1$. Como $l$ es impar, podemos factorizar la expresión anterior como:

  $$(2^m)^l + 1 = (2^m + 1)(2^{m(l - 1)} - 2^{m(l - 2)} + 2^{m(l - 3)} - \dots - 2^m + 1)$$

  
  

  Como se puede hacer la factorización, tenemos entonces que $(2^m)^l + 1$ no es primo con lo cual $2^n + 1$ tampoco lo es. Como partimos de la hipotesis que $2^n + 1$ es primo, se establece la condición que $n$ no debe tener factores primos impares y por lo tanto debe ser de la forma $n = 2^k$ para algún $k \in \mathbb{N}$.