Expresión racional de una fracción periodica infinita

El problema radica en encontrar un número racional $r$ tal que su expresión decimal sea $0.33444 \dots$ .

Vamos a considerar el caso general en el que se tiene una expresión decimal periodica infinita de la forma $0.a_1 a_2 \dots a_n b_1 b_2 \dots b_k b_1 b_2 \dots b_k \dots$, vamos a analizar la parte correspondiente a los dígitos $a_i$. Tomemos el caso $n = 3$ con lo cual tenemos el número $0.a_1 a_2 a_3$. Este número puede ser escrito como:

$$\begin{split}0.a_1 a_2 a_3 & = \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \frac{a_3}{10^3} \\ & = \frac{a_1 a_2 a_3}{10^3} \end{split}$$

Por inducción vamos a suponer que la anterior es expresión es valida para $n$, con lo cual determinaremos si es valida para $n + 1$. Para $n$ tenemos:

$$0.a_1 a_2 a_3 \dots a_n = \frac{a_1 a_2 a_3 \dots a_n}{10^n}$$

Para $n + 1$ tenemos que $0.a_1 a_2 \dots a_n a_{n+1}$ puede escribirse como la suma de los $n$ primeros dígitos y el dígito $n + 1$ así:

$$\begin{split}0.a_1 a_2 a_3 \dots a_n a_{n + 1} & = \frac{a_1 ... ... \frac{a_1 a_2 a_3 \dots a_n a_{n + 1}}{10^{n + 1}} \end{split}$$

a partir de lo cual, podemos decir que en general se cumple que:

$$0.a_1 a_2 a_3 \dots a_n = \frac{a_1 a_2 a_3 \dots a_n}{10^n}$$

Analizando a continuación los dígitos del primer grupo $b_1 b_2 \dots b_k$, vemos que de acuerdo a los anteriores resultados se pueden escribir como:

$$\frac{b_1}{10^{n + 1}} + \frac{b_2}{10^{n + 2}} + \dots + \frac{b_k}{10^{n + k}} = \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + k}}$$

Para el segundo grupo $b_1 b_2 \dots b_k$, tenemos:

$$\frac{b_1}{10^{n + k + 1}} + \frac{b_2}{10^{n + k + 2}} + \dots + \frac{b_k}{10^{n + 2k}} = \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + 2k}}$$

Para el m-esimo grupo $b_1 b_2 \dots b_k$,

$$\frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + mk}}$$

A partir de lo anterior, podemos escribir la expresión decimal periodica $0.a_1 a_2 \dots a_n b_1 b_2 \dots b_k b_1 b_2 \dots b_k \dots$ como:

$$\frac{a_1 a_2 \dots a_n}{10^n} + \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + k}} + \dots + \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + mk}} + \dots$$

Tomando el factor común $\frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + k}}$, se obtiene:

$$\frac{a_1 a_2 \dots a_n}{10^n} + \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^{n + k}} \left[ 1 + \frac{1}{10^k} + \dots + \frac{1}{10^{k(m - 1)}} + \dots \right]$$

El término entre paréntesis cuadrados corresponde a la serie geométrica de la forma $\sum_{i = 1}^{\infty} a r^{i - 1}$, la cual converge a $\frac{a}{1 - r}$ si $\vert r\vert < 1$. Haciendo $a = 1$, $r = \frac{1}{10^k}$ y teniendo en cuenta que $\left \vert\frac{1}{10^k} < 1 \right \vert$ para $k > 0$, el valor de esta suma es entonces $\frac{10^k}{10^k - 1}$. De acuerdo a este resultado, tenemos entonces que una fracción periodica infinita de la forma $0.a_1 a_2 \dots a_n b_1 b_2 \dots b_k b_1 b_2 \dots b_k \dots$ se puede escribir en forma de expresión racional como:

$$\frac{a_1 a_2 \dots a_n}{10^n} + \frac{b_1 b_2 \dots b_k}{10^n(10^k - 1)}$$

Para el caso particular de la expresión decimal $0.33444 \dots$ tenemos entonces que $n = 2$, $a_i = 3$, $k = 1$, $b_j = 4$ con lo cual:

$$\begin{split}0.33444 \dots & = \frac{33}{10^2} + \frac{4}{10^... ...eft[33 + \frac{4}{9} \right] \\ & = \frac{301}{900} \end{split}$$