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Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales $ \mathbb{N}$. Para cada número $ n \in \mathbb{N}$, asignamos un número $ S_n$. Decimos que la sucesión converge a un número $ S$, si para para todo número $ \varepsilon > 0$, podemos encontrar un número real $ N$ tal que si $ n > N$, entonces, $ \vert S_n - S\vert < \varepsilon$, es decir, una sucesión converge a un número $ S$ si cada vez el valor de $ S_n$ se va aproximando a $ S$ y cuando $ n \rightarrow \infty$, $ S_n \rightarrow S$.

Vamos a estudiar la sucesión $ \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\cdots }\right)$ y determinaremos si es o no convergente.

Analizando la sucesión, escribimos la siguiente fórmula de recurrencia para construirla:

$\displaystyle S_{1}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}$    
$\displaystyle S_{n}$ $\displaystyle =\frac{1}{2+S_{n-1}}$    

esta fórmula nos permite escribir cualquier término de la sucesión si necesidad de escribirlos todos. Sin embargo, es una fórmula recurrente, ya que el término $ S_n$ se escribe en función del término $ S_{n-1}$

Observando los primeros términos de la sucesión, se aprecia una tendencia creciente en los términos pares y un tendencia decreciente en los términos impares. Vamos entonces a analizar cada una de estas subsucesiones que se obtienen.

Despues de analizar las dos subsucesiones podemos concluir que como cada una de ellas converge y el valor límite de las dos es el mismo, la sucesión $ \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\cdots }\right)$ es convergente y su valor límite es $ -1 + \sqrt{2}$.


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Asdruval Zacipa Corredor 2003-04-05