Sucesiones

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$. Para cada número $n \in \mathbb{N}$, asignamos un número $S_n$. Decimos que la sucesión converge a un número $S$, si para para todo número $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un número real $N$ tal que si $n > N$, entonces, $\vert S_n - S\vert < \varepsilon$, es decir, una sucesión converge a un número $S$ si cada vez el valor de $S_n$ se va aproximando a $S$ y cuando $n \rightarrow \infty$, $S_n \rightarrow S$.

Vamos a estudiar la sucesión $\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\cdots }\right)$ y determinaremos si es o no convergente.

Analizando la sucesión, escribimos la siguiente fórmula de recurrencia para construirla:

$$S_{1} =\frac{1}{2}$$

$$S_{n} =\frac{1}{2+S_{n-1}}$$

esta fórmula nos permite escribir cualquier término de la sucesión si necesidad de escribirlos todos. Sin embargo, es una fórmula recurrente, ya que el término $S_n$ se escribe en función del término $S_{n-1}$

Observando los primeros términos de la sucesión, se aprecia una tendencia creciente en los términos pares y un tendencia decreciente en los términos impares. Vamos entonces a analizar cada una de estas subsucesiones que se obtienen.

• Subsucesión de términos pares.

  Los 2 primeros términos de esta subsucesión son:

  $$S_{2} =\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}$$

  $$S_{4} =\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{2}}}=\frac{12}{29}$$

  
  

  Como el término $S_{1}=\frac{1}{2}$, vamos a determinar si el valor $\frac{1}{2}$ es cota superior, es decir, es el mayor valor que tiene la sucesión. Esto se cumple claramente para $S_{2}$ y $S_{4}$, ya que $\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$ y $\frac{12}{29}<\frac{1}{2}$ respectivamente.

  Supongamos que $S_{k}<\frac{1}{2}$ con $k$ par. Entonces:

  $$S_{k+2} =\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k}}}$$

  $$=\frac{2+S_{k}}{5+2S_{k}} S_k = \frac{1}{2}$$

  $$S_{k+2} =\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$$

  
  

  con lo cual podemos decir que la sucesión esta acotada superiormente por $\frac{1}{2}$.

  Ahora debemos determinar si la subsucesión es creciente, es decir, que cada número $S_n$ sea mayor que su predecesor. Se aprecia que efectivamente $S_{2}<S_{4}$. Supongamos entonces que $S_{k}<S_{k+2}$ con $k$ par. Entonces:

  $$S_{k+2} =\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k}}}$$

  $$=\frac{2+S_{k}}{5+2S_{k}}$$

  $$<\frac{2+S_{k+2}}{5+2S_{k+2}}$$

  $$=\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k+2}}}$$

  $$=S_{k+4}$$

  
  

  Por lo tanto, la subsucesión es monotonicamente creciente, ya que es completamente creciente, además, es acotada superiormente, entonces, por el teorema de convergencia monotonica tenemos que una sucesión monotonica es convergente si y solo si es acotada. Por lo tanto, podemos concluir que la subsucesión de términos pares es convergente.

  Con el fin de determinar el valor de convergencia de esta subsucesión, podemos observar que si $S_k \rightarrow S$, entonces $S_{k+2} \rightarrow S$ donde $S$ será el valor del límite de la subsucesión, es decir, como ya sabemos que la subsucesión es convergente, si el término $S_k$ tiende a $S$, el término $S_{k+2}$ también tiende a $S$. Por lo tanto podemos escribir:

  $$S = \frac{1}{2+\frac{1}{2+S}}$$

  $$= \frac{2+S}{5+2S}$$

  $$S(5 + 2S) = 2 + S$$

  $$2S^2 + 4S - 2 = 0$$

  
  

  Las raices de esta ecuación son $-1 + \sqrt{2}$ y $-1 - \sqrt{2}$, sin embargo, ya que esta sucesión toma valores positivos, la raíz valida en este caso es $-1 + \sqrt{2}$ y es el valor límite de la subsucesión con $k$ par.

• Subsucesión de términos impares.

  Los 2 primeros términos de esta subsucesión son:

  $$S_{1} =\frac{1}{2}$$

  $$S_{3} = \frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{1}}}=\frac{5}{12}$$

  
  

  En este caso tenemos que $S_1 > S_3$, y además en el caso anterior observamos que el término $S_2 = \frac{2}{5}$ es $S_2 < S_1$ y $S_2 < S_3$, razón por la cual vamos a determinar si $\frac{2}{5}$ es una cota inferior de la subsucesión, es decir, si es el menor valor de todos los valores que toma la subsucesión.

  Tenemos entonces que $S_1 > \frac{2}{5}$ y $S_3 > \frac{2}{5}$. Vamos a suponer que $S_k > \frac{2}{5}$ con $k$ un número impar.

  $$S_{k+2} =\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k}}}$$

  $$=\frac{2+S_{k}}{5+2S_{k}} S_k = \frac{2}{5}$$

  $$= \frac{12}{29}$$

  
  

  como $\frac{12}{29} > \frac{2}{5}$, para todo $k$ impar en $\mathbb{N}$, podemos decir que la subsucesión esta acotada inferiormente por $\frac{2}{5}$.

  Analizando los primeros términos de la sucesión, se observa un comportamiento decreciente, ya que $S_1 > S_3$. Supongamos entonces que $S_k > S_{k+2}$ con $k$ impar, tenemos entonces:

  $$S_{k+2} =\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k}}}$$

  $$=\frac{2+S_{k}}{5+2S_{k}}$$

  $$> \frac{2+S_{k+2}}{5+2S_{k+2}}$$

  $$=\frac{1}{2+\frac{1}{2+S_{k+2}}}$$

  $$=S_{k+4}$$

  
  

  entonces tenemos que $S_{k+2} > S_{k+4}$ con lo cual determinamos que la subsucesión es monotonicamente decreciente, ya que es totalmente decreciente, es decir, cada término es menor que su predecesor; dado que la subsucesion es acotada inferiormente, concluimos que por el teorema de convergencia monotonica, la subsucesión para $k$ impar es convergente.

  En forma similar al caso anterior, con el fin de determinar el valor de convergencia de la subsucesión, tenemos que si $S_k \rightarrow S$, entonces $S_{k+2} \rightarrow S$ con $k$ impar, donde $S$ sera el valor del límite de la subsucesión, por lo tanto podemos escribir:

  $$S = \frac{1}{2+\frac{1}{2+S}}$$

  $$= \frac{2+S}{5+2S}$$

  $$S(5 + 2S) = 2 + S$$

  $$2S^2 + 4S - 2 = 0$$

  
  

  Las raices de esta ecuación son $-1 + \sqrt{2}$ y $-1 - \sqrt{2}$, sin embargo, ya que la subsucesión toma unicamente valores positivos, la raíz valida en este caso es $-1 + \sqrt{2}$ y podemos decir que la subsucesión es convergente y su límite es $-1 + \sqrt{2}$.

Despues de analizar las dos subsucesiones podemos concluir que como cada una de ellas converge y el valor límite de las dos es el mismo, la sucesión $\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}},\cdots }\right)$ es convergente y su valor límite es $-1 + \sqrt{2}$.