Métricas y bolas

Una métrica en un conjunto $E$ es una función:

$$d: E \times E \rightarrow \mathbb{R}$$

$$(x,y) \rightarrow d(x,y)$$

Es decir, la métrica toma un par de elementos del conjunto $E$ y devuelve un valor real, el cual corresponde a la distancia entre los elementos considerados. Un conjunto $E$ dotado de una métrica $d$ se denomina Espacio métrico y se representa como $(E,d)$. Para que $(E,d)$ sea un espacio métrico, debe cumplir con las siguientes propiedades:

1. $d(x,y) \geq 0, \forall x, y \in E$. Es decir, la distancia siempre es positiva.
2. $d(x,y) = 0 \iff x = y$. Es decir, la distancia de un punto de $E$ a si mismo es igual a 0.

3. $d(x,y) = d(y, x)$. Es decir, no importa el sentido en que midamos la distancia, el valor de esta entre $x$ y $y$ es el mismo.

4. $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$. Desigualdad triangular. Es decir, es menor la distancia directa que si tenemos que pasar por un punto intermedio. Se denomina triangular, por que en el caso usual los triángulos cumplen la propiedad de que la hipotenusa es menor o igual a la suma de sus lados (hablando de la longitud).

Como ejemplos de métricas $\mathbb{R}^n$ tenemos:

• $$d_1(x,y) = \sum_{i=1}^n \vert x_i - y_i\vert$$

  
  

• $$d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$$

  
  

• $$d_\infty (x,y) = \max_{1 \leq i \leq n} \vert x_i - y_i\vert$$

  
  

Puede comprobarse que estas funciones cumplen con las propiedades de una métrica. La métrica $d_2$ se conoce como la métrica usual, ya que es la forma normal en que medimos la distancia entre dos puntos cuando tomamos por ejemplo el espacio $\mathbb{R}^3$.

Ahora bien, ya que la métrica nos permite medir la distancia entre puntos, podemos definir una bola como el conjunto de los puntos que cumplen $B(p_0,r_0) = \{p \in E \vert d(p_0,p) < r_0 \}$. En este caso tenemos una bola abierta de centro en $p_0$ y radio $r_0$. Si el signo de la desigualdad es $\leq$, decimos que la bola es cerrada, es decir, $B[p_0,r_0] = \{p \in E \vert d(p_0,p) \leq r_0 \}$. Si estamos trabajando con la métrica usual en $\mathbb{R}$, las bolas son intervalos, en $\mathbb{R}^2$ son círculos, en $\mathbb{R}^3$ son esferas, etc.

Vamos a ver ahora que forma tienen las bolas en las métricas definidas anteriormente:

• Bola abierta en $(\mathbb{R}^2, d_1)$: $B(0,1) = \{x \in \mathbb{R}^2 \vert d_1(0,x) < 1\}$

  $$d_2(0,x) = \sum_{i=1}^2 \vert x_i - y_i\vert x = (x_1,y_1)$$

  $$= \vert - x_1\vert + \vert - y_1\vert$$

  $$= \vert-x_1\vert + \vert-y_1\vert$$

  $$= \vert-1\vert\vert x_1\vert + \vert-1\vert\vert y_1\vert$$

  $$= -(-1) \vert x_1\vert -(-1) \vert y_1\vert$$

  $$= \vert x_1\vert + \vert y_1\vert$$

  
  

  La frontera se tiene cuando $\vert x_1\vert + \vert y_1\vert = 1$ y el interior si $\vert x_1\vert + \vert y_1\vert < 1$. En $\mathbb{R}^2$, esta bola es como lo muestra la figura 1. La bola en $\mathbb{R}^3$ se muestra en la figura 2.

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^2, d_1)$

  

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^3,d_1)$

  

• Bola abierta en $(\mathbb{R}^2, d_2)$: $B(0,1) = \{x \in \mathbb{R}^2 \vert d_1(0,x) < 1\}$

  $$d_2(0,x) = \sqrt{\sum_{i=1}^2 (x_i - y_i)^2} x = (x_1,y_1)$$

  $$= \sqrt{(0 - x_1)^2 + (0 - y_1)^2}$$

  $$= \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$$

  
  

  La frontera se tiene cuando $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 1$ y el interior si $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 1$. En $\mathbb{R}^2$, la frontera de esta bola corresponde a un círculo con centro en $(0,0)$ y radio $1$ como lo muestra la figura 3. La bola en $\mathbb{R}^3$ corresponde a una esfera y se muestra en la figura 4.

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^2, d_2)$

  

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^3,d_2)$

  

• Bola abierta en $(\mathbb{R}^2, d_{\infty})$: $B(0,1) = \{x \in \mathbb{R}^2 \vert d_\infty(0,x) < 1\}$

  $$d_\infty (0,x) = \max_{1 \leq i \leq 2} \vert x_i - y_i\vert x = (x_1,y_1)$$

  $$= \max \{ \vert - x_1\vert, \vert - y_1\vert\}$$

  $$= \max \{\vert x_1\vert,\vert y_1\vert\}$$

  
  

  Tenemos entonces las desigualdades $-1 < x_1 < 1$ y $-1 < y_1 < 1$, a partir de las cuales en $\mathbb{R}^2$ podemos construir la bola que se muestra en la figura 5. La bola en $\mathbb{R}^3$ se muestra en la figura 6.

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^2,d_\infty)$

  

  Figura: Bola en $(\mathbb{R}^3,d_\infty)$

  

La métrica usual $d_2$ se considera como un caso particular de una familia de métricas que se denominan $d_p$ las cuales en $\mathbb{R}^n$ determinan un espacio métrico conocido como $l_p^n$. Cuando $p=2$, tenemos la métrica usual $d_2$ en $\mathbb{R}^n$ que determinan el espacio métrico $l_2^n$. La métrica $d_p$ se define entonces como:

$$d_p(x,y) = \left (\sum_{i=1}^n \vert x_i - y_i\vert^p \right )^{\frac{1}{p}} x y \in \mathbb{R}^n$$

En la figura 7 se muestra la bola en un espacio métrico $l_2^3$, la cual podemos ver que coincide con la forma natural de las bolas cuando la métrica es la usual. En la figura 8 tenemos una bola en $l_3^3$ y en la figura 9 la bola en $l_7^3$. Fijemonos que a medida que aumenta el valor del parámetro $p$, la bola se va haciendo mas cuadrada.

Figura 7:	Figura 8:	Figura 9: