El Conjunto de Cantor

Para definir el conjunto de Cantor, partimos del intervalo $[0,1]$ y removemos el intervalo abierto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ y al intervalo que queda lo denominamos $A_1 = \left[0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3},1\right]$. Para construir $A_2$, removemos el tercio medio de cada uno de los intervalos cerrados que quedan para obtener:

$$A_2 = \left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9},\frac{3}{... ... \left[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9},\frac{1}{9}\right]$$

El proceso continua de esta forma $\forall n \in \mathbb{N}$. Cada uno de los conjuntos $A_{n}$ es la unión de $2^{n}$ intervalos cerrados de la forma $\left[\frac{k}{3^{n}},\frac{k+1}{3^{n}}\right]$, y por lo tanto, la longitud de cada intervalo es $\frac{1}{3^{n}}$.

El conjunto de Cantor es entonces $C=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }A_{n}$.

Supongamos ahora que tomamos un punto $x$ de $\mathbb{R}$ que puede o no pertenecer al subconjunto $S$. Si en este punto, toda bola construida contiene elementos de $S$ diferentes de $x$, decimos que $x$ es un punto de acumulación de $S$.

En términos de sucesiones, decimos que un punto $x$ es un punto de acumulación de un conjunto $A$ en $(E,d)$ si y solo si existe una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ con $x_n \in A$ y $x_n \neq x$ para cada $n$, tal que $x_n \rightarrow x$ si $n \rightarrow \infty$.

Regresando nuevamente al conjunto de Cantor tenemos entonces que podemos tomar un punto $x \in C$, de tal forma que entonces $x \in A_{n}, \forall n \in \mathbb{N}$. Como $x \in A_{n}$, entonces, $x$ debe pertenecer a alguno de los $2^{n}$ intervalos que conforman $A_{n}$.

Escojamos ahora un punto $x_n$ que corresponde a uno de los extremos del intervalo al cual pertenece $x$, si $x$ es igual por ejemplo al punto extremo derecho, hacemos $x_n$ igual al punto extremo izquierdo de ese intervalo, y de la misma forma, si $x$ es igual por ejemplo al punto extremo izquierdo, hacemos $x_n$ igual al punto extremo derecho del mismo intervalo.

Ahora bien, ya que el ancho de cada intervalo es $\frac{1}{3^n}$, tenemos que la distancia entre $x$ y $x_n$ es $\vert x - x_n\vert < \frac{1}{3^n}$.

Como $x_n$ es uno de los puntos extremos de uno de los intervalos, la secuencia $\{x_n\}$ pertenece a $C$ y, dado que $\vert x - x_n\vert < \frac{1}{3^n}$, esta sucesión converge a $x$, con lo cual $x$ es un punto de acumulación de $C$. Como la escogencia de $x$ es arbitraria, entonces tenemos que cada punto de $C$ es un punto de acumulación y por lo tanto $C = C^{\prime}$. El conjunto $C^{\prime}$ se denomina el conjunto derivado de $C$, y es el conjunto de los puntos de acumulación de $C$. Cuando un conjunto es igual a su conjunto derivado, decimos que es un conjunto perfecto con lo cual tenemos que el conjunto de Cantor es un conjunto perfecto.