Un par de derivadas

Recordemos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Si una función $f$ es diferenciable en cada uno de sus puntos, entonces podemos decir que existe la función $f'$ la cual se denomina la derivada de $f$. La función $f'$ se conoce como la derivada de primer orden. La derivada de segundo orden se nota como $f''$ o $f^{(2)}$ y podemos decir que es la derivada de la derivada. De la misma forma podemos hablar de derivadas de orden superior. Dada la función $f(x):=\frac{{x}^{{5}}}{1+{x}^{{6}}}$, vamos a calcular las derivadas de orden 2001 y 2003 de la función en el punto $x=0$.

Definamos las funciones $g(x)=x^{5}$ y $h(x)=\frac{1}{1+x^{6}}$. De acuerdo a esto, tenemos entonces que $f(x)=g(x)h(x)$. Vamos a calcular las primeras derivadas de $f(x)$:

$$f^{(0)}(x) = g(x)h(x)$$

$$f^{(1)}(x) =g^{(1)}(x)h(x)+g(x)h^{(1)}(x)$$

$$f^{(2)}(x) =g^{(2)}(x)h(x)+2g^{(1)}(x)h^{(1)}(x)+g(x)h^{(2)}(x)$$

$$f^{(3)}(x) =g^{(3)}(x)h(x)+3g^{(2)}(x)h^{(1)}(x)+3g^{(1)}(x)h^{(2)}(x)+g(x)h^{(3)}(x)$$

$$\vdots$$

Podemos apreciar que los coeficientes de los polinomios generados son:

$$f^{(0)}(x) :1$$

$$f^{(1)}(x) :1 \qquad 1$$

$$f^{(2)}(x) :1 \qquad 2 \qquad 1$$

$$f^{(3)}(x) :1 \qquad 3 \qquad 3 \qquad 1$$

$$\vdots$$

estos coeficientes corresponden a los dados por el triángulo de Pascal, y por lo tanto, podemos escribir la derivada $n-esima$ de acuerdo al teorema Binomial como:

$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\left( \begin{array}[c]{c}%% n\\ k \end{array}\right) g^{(k)}(x)h^{(n-k)}(x)$$

con $$\left( \begin{array}[c]{c}%% n\\ k \end{array}\right) =\frac{n!}{(n-k)!k!}$$.

También podemos ver que las derivadas de $g(x)$ evaluadas en $x=0$ son:

$$g^{(0)}(0) = x^{5}=0$$

$$g^{(1)}(0) = 5x^{4}=0$$

$$g^{(2)}(0) = 20x^{3}=0$$

$$g^{(3)}(0) = 60x^{2}=0$$

$$g^{(4)}(0) = 120x=0$$

$$g^{(5)}(0) = 120$$

$$g^{(6)}(0) = 0$$

$$g^{(7)}(0) = 0$$

$$\vdots$$

Observamos entonces que la unica derivada de $g(x)$ que no se anula en $x=0$ es la de grado $5$. Analizando $h(x)$ se determina que las derivadas de orden multiplo de $6$ tienen un término sin la variable $x$ en el numerador, mientras que las demas si tienen alguna potencia de $x$ en el numerador de todos los sumandos, las cuales por lo tanto se anulan en $x=0$. Entonces al evaluar las primeras derivadas de $h(x)$ en los ordenes multiplos de $6$ que no se anulan en $x=0$ obtenemos:

$$h^{(6)}(0) =-\frac{6!}{(1+x^{6})^{2}}=-6!$$

$$h^{(12)}(0) =\frac{12!}{(1+x^{6})^{3}}=12!$$

$$h^{(18)}(0) =-\frac{18!}{(1+x^{6})^{4}}=-18!$$

$$h^{(24)}(0) =\frac{24!}{(1+x^{6})^{5}}=24!$$

$$\vdots$$

a partir de lo cual podemos escribir el término general como

$$h^{(n)}(0)=(-1)^{m}n! m\in\mathbf{N},m\geq1 n=6m$$

Con las anteriores consideraciones tenemos entonces que para las derivadas de ordenes $2001$ y $2003$ podemos hacer el siguiente análisis:

• $n=2001$. Tenemos que $k=5$ ya que es el orden en que no se anula $g(x)$ y $n-k=1996$. Como $1996$ no es divisible entre $6$, tenemos que la derivada $h^{(1996)}(0)=0$ y por lo tanto $f^{(2001)}(0)=0$.

• $n=2003$. Tenemos que $k=5$ ya que es el orden en que no se anula $g(x)$ y $n-k=1998$. Como $1998$ es divisible entre $6$ e igual a $333$, tenemos que la derivada $h^{(1998)}(0)=(-1)^{333}1998!=-1998!$ y por lo tanto:

  $$f^{(2003)}(0) =\left(\begin{array}[c]{c}2003\\ 5 \end{array}\right) g^{(k)}(x)h^{(n-k)}(x)$$

  $$=-5!1998!\left( \frac{2003!}{1998!5!}\right)$$

  $$=-2003!$$