Demostración

Partimos de la igualdad trivial:

$$n = n$$

$$n = n * 1$$

Como $1 = \log_2(2)$ entonces:

$$n = n \log_2 2$$

Aplicando de manera inversa la propiedad de las potencias:

$$n = \log_2(2^n)$$

Vamos a incluir un signo menos y un cero en el lado derecho así:

$$n = - (0 - \log_2(2^n))$$

Aplicamos el supuesto 3.

$$n = - (\log_2(1) - \log_2(2^n))$$

Aplicando de manera inversa la propiedad de la división :

$$n = - \log_2 \left(\frac{1}{2^n}\right)$$

Aplicando el supuesto 2:

$$n = - \log_2 \left(\frac{\log_2(2)}{2^n}\right)$$

Aplicando de manera inversa la propiedad de las potencias:

$$n = - \log_2 (\log_2(2^{\frac{1}{2^n}}))$$

Tenemos que $2^{\frac{1}{(2n)}}$ es equivalente a $\sqrt[{2^{n}}]{2}$:

$$n = - \log_2 (\log_2(\sqrt[{2^{n}}]{2}))$$

Tenemos que $\sqrt[{2^{n}}]{2}$ es equivalente a $\underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}_{n}$

$$n = -\log_{2} \log_{2} \underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}_{n}$$

con lo cual se concluye la demostración:

$$\forall n \in \mathbb{N}: n = - \log_{2} \log_{2} \underbrace{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots\sqrt{2}}}}}_{n}$$